## 序論 [[システムとは入力に対して出力が定まるものである|入出力システム]]のうち、線形性・時不変性を定義したものを線形時不変(LTI)システムと呼ぶ。線形時不変システムは、多くのシステムの説明に利用することができ、また解析も比較的簡単であるため重要である。 ## 本論 入力$u$、出力$y$について成り立つシステム$y=f(u)$を考える。 システム$f$が[[線形性とは何か|線形]]であるとは、以下のように表現される。 $f(\alpha_1u_1 + \alpha_2u_2) = \alpha_1f(u_1) + \alpha_2f(u_2)$ システム$f$が[[時不変性とは何か|時不変]]であるとは、以下のように表現される。 $y(t+\tau) = f(u(t+\tau)))$ すなわち、時間シフト$\tau$を加えてもシステムの応答が変わらないということである。 このような性質を仮定すると、システムは「角周波数$\omega$の正弦波の入力に対して、角周波数$\omega$に依存した振幅$A(\omega)$、位相$\theta(\omega)$を持つ正弦波が出力される」という重要な性質が得られる。 これは、以下のように示される。 入力正弦波を$u(t)=e^{j\omega t}$とすると、 $ y(t + \tau) = f(u(t + \tau)) = f(e^{j\omega (t+\tau)}) = f(e^{j\omega t}e^{j\omega\tau}) = e^{j\omega\tau}f(e^{j\omega t})=e^{j\omega \tau}y(t) $ ここで、$t=0$とすると、 $y(\tau) = y(0)e^{j\omega\tau}$ これは任意の$\tau$で成り立つので $y(t)=f(u(t))=y(0)e^{j\omega t}$ が示された。 一般に$y(0)$は複素数であり、$\omega$に依存するから絶対値$A(\omega)$、偏角$\theta(\omega)$として、 $y(t)=A(\omega)e^{{j(\omega t + \theta(\omega)) }}$ と表される。[^1] ## 発展的結論 この正弦波入力に対する出力が正弦波というのが重要な性質であり、これを応用してさらに[[フーリエ変換・ラプラス変換を用いることでLTIシステムを周波数領域で表現できる]]。 [^1]: [[現代システム科学概論 - 木村英紀]]